http://www.howtotrade.ru/phorum/list.php?3 RU Thu, 21 Jun 2007 22:56:23 +0400 Thu, 21 Jun 2007 22:56:23 +0400 Конференции Phorum 5.1.25 60 http://www.howtotrade.ru/phorum/read.php?3,6613,8407#msg-8407 Hedger
http://hh.ru/vacancy/780568

http://hh.ru/vacancy/766454

Авралы бывают, но на работе никто не ночует. Требования достаточно высокие - кванты (фин. инженеры) как правило имеют Ph.D..]]> Конференции http://www.howtotrade.ru/phorum/read.php?3,6613,8407#msg-8407 Thu, 21 Jun 2007 22:56:23 +0400 http://www.howtotrade.ru/phorum/read.php?3,6613,8401#msg-8401 Static
Кстати, Вы не знаете, в таких компаниях во всех отделах и во всех филилалах люди на работе днюют и ночуют? Или каков реальный средний рабочий день финансового инженера - в Германии и в России?]]> Конференции http://www.howtotrade.ru/phorum/read.php?3,6613,8401#msg-8401 Thu, 21 Jun 2007 18:07:17 +0400 http://www.howtotrade.ru/phorum/read.php?3,6613,8386#msg-8386 Hedger Между прочим Deutsche Bank и не только набирают финансовых инженеров для московских офисов..]]> Конференции http://www.howtotrade.ru/phorum/read.php?3,6613,8386#msg-8386 Thu, 21 Jun 2007 15:14:14 +0400 http://www.howtotrade.ru/phorum/read.php?3,6613,8274#msg-8274 Static Так что пока могу только позавидовать сотрудикам ведущих зарубежных банков...]]> Конференции http://www.howtotrade.ru/phorum/read.php?3,6613,8274#msg-8274 Wed, 20 Jun 2007 18:25:53 +0400 http://www.howtotrade.ru/phorum/read.php?3,6613,8219#msg-8219 Hedger Конференции http://www.howtotrade.ru/phorum/read.php?3,6613,8219#msg-8219 Wed, 20 Jun 2007 14:07:34 +0400 http://www.howtotrade.ru/phorum/read.php?3,6613,8211#msg-8211 Static Конференции http://www.howtotrade.ru/phorum/read.php?3,6613,8211#msg-8211 Wed, 20 Jun 2007 12:57:24 +0400 http://www.howtotrade.ru/phorum/read.php?3,6613,8059#msg-8059 Hedger Остальные вопросы в личку. Пишите:

hedger@list.ru.]]> Конференции http://www.howtotrade.ru/phorum/read.php?3,6613,8059#msg-8059 Mon, 18 Jun 2007 22:28:42 +0400 http://www.howtotrade.ru/phorum/read.php?3,6613,8055#msg-8055 Static Просто, честно говоря, я думал, что в этом форуме общаются в основном практики, проживающие в России, но для для российского финансового рынка исследование явно неприменимо и потребители тоже найдутся с трудом...

Про библиотеку - исходники, конечно, намного интереснее. Запустить процесс компиляции в Visual Studio я, пожалуй, смогу, а возможность внести необходимую коррективу в код, как показывает практика, иногда оказывается практически бесценной...]]> Конференции http://www.howtotrade.ru/phorum/read.php?3,6613,8055#msg-8055 Mon, 18 Jun 2007 18:56:43 +0400 http://www.howtotrade.ru/phorum/read.php?3,6613,7965#msg-7965 Hedger Конечная цель - определение цены опциона и здесь есть засады. Если наивно калибровать модель в поисках глобального минимума можно зайти далеко. Дело в том что в модели Хестона можно получить режимы с очень низкой волатильностью, которые удовлетворяют всем ограничениям. Как результат неправильная цена и что самое печальное стоимость хеджирования в реальности окажется выше. Поэтому окончательный выбор параметров стоxастической модели делает человек а не машина.
Что касается стохастических оптимизаторов - их преимущество находить "глобальный" экстремум здесь не столь актуально, а работают они значительно медленней. Согласен с вашим выводом о тенденции стохастических оптимизаторов застревать в локальных минимумах. Нечто подобное наблюдалось на практике, поэтому я и написал в докладе (вероятно). Случайные начальные условия для градиентных оптимизаторов используются в инженерной практике.]]> Конференции http://www.howtotrade.ru/phorum/read.php?3,6613,7965#msg-7965 Sat, 16 Jun 2007 13:25:41 +0400 http://www.howtotrade.ru/phorum/read.php?3,6613,7959#msg-7959 PhD Опционы меня не интересуют, поэтому я остановлюсь только на одном моменте
====================
Есть ряд градиентных алгоритмов, для задач оптимизации с ограничениями. Большинство этих алгоритмов, работают стабильно и достаточно быстро, но каждый всегда имеет риск застрять в локальном минимуме. Как следствие стартовое значение параметров оптимизации является критическим.
Стохастические алгоритмы.
В отличии от градиентных, для стохастических оптимизаторов стартовое значение является несущественным (вероятно). Применяемый алгоритм отжига выбирает направление и шаг беспорядочно, "он ищет всюду". Он движется по градиенту, но может двигаться и вверх с определенной вероятностью , которая зависит от параметра отжига. Этот параметр называют "температурой" по историческим причинам. В течение процесса оптимизации температура постепенно уменьшается. Существует ряд теорем сходимости метода, которые утверждают, что алгоритм всегда останавливается в глобальном минимуме, если процесс отжига достаточно медленен. Но, как правило, стохастические алгоритмы медленны, и в вычислительном отношении более обременительны, чем градиентные оптимизаторы.
===================
Я в своей работе не использую градиентных алгоритмов - им нужны дифференцируемые функции. Использование же одного из вариантов стохастической оптимизации - генетических алгоритмов, показало, что на больших массивах они склонны попадать в локальные экстремумы. Поэтому я использую циклические вычисления по генетическому алгоритму с заданием фиксированного числа случайных начальных условий. Думаю, такой же подход можно было бы применить - если вы его уже не применяете, и к градиентным методам оптимизации. В любом случае тестирование на определенной выборке зависимости результатов оптимизации от числа входов и координат начальных условий позволило бы сделать более обоснованный вывод о робастности методов градиентной оптимизации применительно к решаемой задаче.]]> Конференции http://www.howtotrade.ru/phorum/read.php?3,6613,7959#msg-7959 Sat, 16 Jun 2007 02:40:36 +0400 http://www.howtotrade.ru/phorum/read.php?3,6613,7937#msg-7937 Hedger
Mikhailov, S., Noegel, U. Heston's stochastic volatility model. Implementation, calibration and some extensions. WILMOTT Magazine, July 2003, 74-49.

которая вошла в Best of Wilmott 2003.

Что касается библиотеки - вам нужны исходники или объектные модули?.]]> Конференции http://www.howtotrade.ru/phorum/read.php?3,6613,7937#msg-7937 Fri, 15 Jun 2007 17:34:41 +0400 http://www.howtotrade.ru/phorum/read.php?3,6613,7895#msg-7895 Static
Практический вопрос состоит в том, что из статьи не совсем понятно (вернее, совсем непонятно), как и на каких условиях можно получить этот замечательный программный пакет, который так много всего умеет?]]> Конференции http://www.howtotrade.ru/phorum/read.php?3,6613,7895#msg-7895 Fri, 15 Jun 2007 15:22:37 +0400 http://www.howtotrade.ru/phorum/read.php?3,6613,6613#msg-6613 Инфо [i]Сергей Михайлов (Hedger, hedger@list.ru ) [/i]

[b]1 Введение[/b]

В статье рассматриваются типичные задачи, возникающие при внебиржевой торговле сложными опционами. Цена и стратегия хеджирования для OTC опционов определяется исходя из модели (make to model). При цене опциона ~ $30M выбор и реализация модели является критической для торгующей стороны. В финансовой индустрии применяются два типа моделей. Это модели инвестиционных банков и модели хедж фондов. В моделях ИБ используется гипотеза отсутствия арбитража и определяется "справедливая" цена опциона. Хедж фонды пытаются построить более эффективные модели и генерировать прибыль за счет своих менее подготовленных оппонентов. Попробуем объяснить различие подходов, используемых в инвестиционных банках и хедж фондах, на простом примере броуновского движения. Всё многообразие стратегий хедж фондов, конечно, не сводится к этому примеру, но все такие модели явно или нет, используют гипотезу о предсказуемости некоторой переменной. Геометрическое броуновское движение определяется стохастическим дифференциальным уравнением
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image001.gif[/img]
где [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image002.gif[/img] - цена актива, [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image003.gif[/img] - стандартный винеровский процесс, [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image004.gif[/img] - дрейф, [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image005.gif[/img] - волатильность. Справедливая цена опциона определяется в риск-нейтральной вероятностной мере, в которой дрейф заменяется безрисковой процентной ставкой по банковскому депозиту [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image006.gif[/img] и в формулу, определяющую цену опциона, не входит. В некоторых моделях хедж фондов основное внимание уделяется определению дрейфа (trend is your friend). Идентификация дрейфа - нетривиальная задача. Если посмотреть на реализации процесса при [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image006.gif[/img] они будут содержать ряд локальных трендов, но в тоже время матожидание цены равно [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image007.gif[/img]. То есть то, что на первый взгляд выглядит как тренд, может им не являться. Тем не менее, на рынке существует ликвидность моделей, исходящих из прямо противоположных предположений. В дальнейшем мы остановимся на безарбитражных моделях.

[b]2 Инструмент[/b]

Пусть [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image008.gif[/img] известные даты и [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image002.gif[/img] цена акции или индекса в момент времени [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image009.gif[/img] . Тогда выплата (payout) для локально и глобально ограниченного cliquet задаётся следующим выражением
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image010.gif[/img]
Она состоит из действия [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image011.gif[/img] (возможно взвешенного с некоторым коэффициентом [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image012.gif[/img] на интервале [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image013.gif[/img]), ограничена сверху константами [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image014.gif[/img] и снизу величинами [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image015.gif[/img] . Сумма по всем интервалам опять ограничена сверху и снизу константами [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image016.gif[/img] и [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image017.gif[/img] . В заключение может быть добавлена некоторая постоянная премия [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image018.gif[/img] .
Опционы cliquet являются популярным продуктом в классе производных на акции. Эти контракты привлекательны для инвесторов, так как защищают от потерь при падениях цены, в тоже время оставляя потенциал для прибылей при росте рынка. Ограничивая максимум и минимум, как в этом глобально и локально ограниченном cliquet, можно гарантировать невысокую выплату, и как следствие, умеренную стоимость контракта. С точки зрения продающей стороны, основная задача которой минимизировать рыночный риск дельта хеджированием, главным является точная оценка риска, обусловленного волатильностью. Таким образом контракт является чувствительным к принятой модели для волатильности.

[b]3 Модель[/b]

Поясним, почему для данного инструмента, выбор модели для волатильности является критическим. Чувствительность цены опциона к волатильности измеряют через вегу. Она определяется как производная от цены по волатильности (как правило постоянной). Так как выплата cliquet не является выпуклой, как в случае обыкновенного европейского опциона, гамма - вторая производная от цены опциона по цене акции может менять знак. В точках, где гамма меняет знак, вега сильно отличается от реальной чувствительности цены опциона по отношению к изменению волатильности (Avellaneda, Levy & Para‘s (1995)). Определение риска для экзотических опционов в модели с постоянной волатильностью (Black-Scholes) может в лучшем случае привести к большим неточностям, в худшем к совершенно неправильной интерпретации.
После того как мы отказались от модели Black-Scholes для определения цены cliquet, следующими кандидатами являются модели:
[i]- локальной волатильности
- неопределенной волатильности
- стохастической волатильности[/i]
В модели локальной волатильности цена определяется нелинейным диффузионным процессом, волатильность которого зависит от цены и времени
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image019.gif[/img].
Модель является завершённой, то есть имеется только один источник риска, который может быть полностью устранен хеджированием.
Модель локальной волатильности имеет плохую репутацию по двум причинам:
[i]- нестабильный алгоритм численной реализации
- модель неправильно описывает динамику поверхности локальной волатильности.[/i]
Несмотря на недостатки, модель используется в некоторых инвестиционных банках для торговли экзотическими опционами.
В модели неопределенной волатильности не делается предположений о функциональной зависимости волатильности от цены и времени. Считается, что волатильность лежит в некоторых пределах. Исходя из ограничений на волатильность, определяется максимальная и минимальная цена опциона. Метод дает робастную оценку пределов изменения цены опциона. Достоинством метода является универсальность. Недостатком – широкие границы изменения цены.
В моделях стохастической волатильности для цены используется винеровский процесс с известным дрейфом и переменной волатильностью. Волатильность задаётся вторым диффузионным процессом. Между ценой и волатильностью имеется корреляция.
Среди моделей стохастической волатильности модель Хестона (Heston 1993) является очень популярной в финансовой индустрии. Цена европейских опционов задается через характеристическую функцию, которая определена в явном виде.
[b]Достоинства:[/b]
[i]- существует точное решение для простых Европейских опционов
- стохастический процесс позволяет генерировать функции распределения для цены близкие к реализуемым
- модель Хестона учитывает корреляцию между ценой и волатильностью, обобщает модель Black-Scholes и генерирует поверхности имплицитной волатильности с хорошей точностью совпадающие с реальными.[/i]
[b]Недостатки:[/b]
[i]- модель незавершённая
- параметры модели нестационарные
- недостаточный наклон поверхности имлицитной волатильности для опционов с коротким временем до экспирации.[/i]
В дальнейшем мы остановимся на модели Хестона, которая применяется для торговли экзотическими опционами во многих инвестиционных банках.

[b]4 Проект[/b]

Проект разработки и реализации стохастической модели Хестона состоял из следующих промежуточных этапов:
[i]- реализация аналитических решений для стандартных ванильных опционов в модели Хестона и Бейтса (Хестон с добавлением прыжков в цене, описываемых пуассоновским процессом), пробуя оптимизировать численные алгоритмы по скорости, так, чтобы калибровка могла быть выполнена как можно быстрее
- аналитическое решение, решение методом Монте-Карло, и решение, полученное методом конечных разностей, сравниваются, и следующий шаг делается, когда все три метода дают одинаковые цены в пределах точности модели
- калибровка стохастической модели на стандартных опционах
- после калибровки модели - определение цен и греков для cliquet методом Монте-Карло и методом конечных разностей
- всё должно быть запрограммировано в C++, и быть готово к применению через DLL в Microsoft Excel[/i].

[b]5 Модель стохастической волатильности Хестона[/b]

Модель, предложенная Хестоном, обобщает модель Black-Scholes (1973) и включает её как специальный случай. В постановке Хестона учитывается нелогнормальное распределение цен активов, эффект отрицательной корреляции волатильности и относительных доходностей, свойство волатильности возвращаться к равновесным уровням, и при этом модель Хестона имеет аналитические решения для стандартных опционов. Поверхности имплицитной волатильности, генерируемые моделью Хестона, с высокой точностью совпадают с реальными поверхностями имплицитной волатильности. Сложности возникают с оценкой опциона по риск-нейтральной мере. Так как модель незавершённая - невозможно построить безрисковый портфель из опциона и акции.
Далее описывается модель стохастической волатильности Хестона и даются некоторые детали для вычисления цен опционов.
Используются следующие обозначения:
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image002.gif[/img] - спотовая цена акции, финансового индекса…..
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image020.gif[/img] - вариация
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image021.gif[/img] - цена европейского опциона колл
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image022.gif[/img] - страйк
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image023.gif[/img] - стандартные винеровские процессы
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image024.gif[/img] - ставка по безрисковому депозиту
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image025.gif[/img] - поток дивидендов
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image026.gif[/img] - cкорость возвращения к равновесной вариации
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image027.gif[/img] - равновесная вариация
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image028.gif[/img] - начальная вариация
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image029.gif[/img] - волатильность вариации
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image030.gif[/img] - параметр корреляции
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image031.gif[/img] - текущая дата
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image032.gif[/img] - дата исполнения опциона.
Модель стохастической волатильности Хестона (1993) определяется двумя стохастическими уравнениями
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image033.gif[/img]
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image034.gif[/img]
Стохастические процессы [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image035.gif[/img] коррелированны [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image036.gif[/img]. Модель для вариации является процессом квадратного корня Feller (1951) и Cox, Ingersoll and Ross (1985). Для процесса вариация всегда положительна и если [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image037.gif[/img] то вариация не достигает нуля. Решение уравнения для среднего
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image038.gif[/img].
Отметим, что детерминированная часть процесса асимптотически устойчива, если [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image039.gif[/img]. Ясно, что положение равновесия равно [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image040.gif[/img].
Уравнение не имеет аналитического решения. Но переходная плотность распределения известна. Она определяется нецентральным хи-квадрат распределением.
Применяя лемму Ito и стандартные арбитражные аргументы, мы получаем уравнение в частных производных Гармана
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image041.gif[/img]
со следующими терминальными
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image042.gif[/img]
и граничными условиями
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image043.gif[/img]
где [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image044.gif[/img] рыночная цена риска, связанного с волатильностью.
Хестон строит решение уравнения в частных производных не прямым способом, а с использованием метода характеристических функций. Он ищет решение в форме, соответствующей модели Black-Scholes
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image045.gif[/img],
где [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image046.gif[/img] дельта европейского опциона колл и [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image047.gif[/img] является условной риск-нейтральной вероятностью, что цена на актив будет больше чем [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image022.gif[/img] в момент исполнения опциона. Обе вероятности [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image048.gif[/img] также удовлетворяют уравнению . При условии, что характеристические функции [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image049.gif[/img] известны, величины [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image048.gif[/img] определяются через обратное преобразование Фурье
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image050.gif[/img]
Хестон ищет характеристические функции [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image049.gif[/img] в виде
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image051.gif[/img]
После подстановки [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image049.gif[/img] в уравнении Гармана мы получаем следующие обыкновенные дифференциальные уравнения для неизвестных функций [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image052.gif[/img] и [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image053.gif[/img]:
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image054.gif[/img]
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image055.gif[/img]
с нулевыми начальными условиями
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image056.gif[/img]
Решением системы определяется выражениями
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image057.gif[/img]
где
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image058.gif[/img]

[b]6 Реализация модели стохастической волатильности Хестона[/b]

[b]6.1 Вычисление интеграла Фурье [/b]
Обратное преобразование Фурье - критический пункт в реализации численного алгоритма оценки опциона по известной характеристической функции. Комплексные числа могут быть легко реализованы при использовании класса complex<> из C ++ стандартной библиотеки. Поскольку интеграл должен вычисляться с высокой точностью для широкого диапазона параметров (параметры стохастического процесса, различные страйки и времена экспирации), мы решили использовать адаптивную квадратуру для первой попытки. Адаптивный алгоритм может сам приспособиться к изменениям в подынтегральном выражении, избавляя от необходимости контролировать шаг интегрирования. Мы использовали адаптивный Simpson и адаптивную квадратуру Gauss-Lobatto, которые дали хорошие результаты, при этом алгоритм Gauss-Lobatto быстрее при заданной точности. Но, поиграв с моделью, мы остановились на оптимизированном методе Gauss с фиксированным шагом интегрирования для более быстрого вычисления.

[b]6.2 Ловушки комплексного логарифма [/b]
Из-за того, что комплексный логарифм является многозначной функцией,
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image059.gif[/img]
где [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image060.gif[/img] целое число, обычно ограничиваются его главным значением [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image061.gif[/img], полагая [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image062.gif[/img]. Этот выбор используется в стандартной C++ log(z) функции, и она разрывная при пересечении отрицательной реальной оси.
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image063.jpg[/img] [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image064.jpg[/img]
[i]Рисунок 1. Реальная и мнимая части главного значения комплексного логарифма[/i]
Сначала мы имели проблемы с числовой реализацией комплексного логарифма. Но после реализации кода с комплексным логарифмом, который сохраняет непрерывность функции при переходе через отрицательную реальную ось, результаты наших трех различных числовых подходов (моделирование по методу Монте-Карло, метод конечных разностей и аналитическое решение) совпали, и это дало нам уверенность двигаться дальше.

[b]7 Калибровка модели Хестона[/b]

Теперь с устойчивым релизом аналитического решения мы были в состоянии калибровать стохастическую модель на ликвидных ванильных опционах.
Небольшое отступление. Калибровкой называют процедуру определения параметров стохастической модели. Параметры можно определять на исторических данных и на ценах торгуемых опционов. В дальнейшем описывается второй подход. Задача заключается в выборе параметров модели так, чтобы цены опционов, генерируемые стохастической моделью, как можно меньше отличались от реальных цен на рынке.

[b]7.1 Схема калибровки [/b]
Цель калибровки состоит в минимизации квадратичной ошибки
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image065.gif[/img]
где [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image066.gif[/img] обозначает рыночную цену на колл страйк [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image067.gif[/img] с экспирацией [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image068.gif[/img]., [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image069.gif[/img] цена опциона, генерируемого стохастической моделью. Для популярных индексов (S&P 500, EuroSTOXX 50, DAX) имеется около 150-200 различных опционов, отличающимися страйками и временами экспирации. Модель Хестона зависит от следующих параметров [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image070.gif[/img]. Функцией штрафа может быть, например расстояние до начального вектора параметров [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image071.gif[/img] она используется, для того, чтобы придать калибровке немного дополнительной стабильности.
Как оказалось, подходящий выбор факторов веса [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image072.gif[/img] является критическим для хороших результатов калибровки.

[b]7.2 Локальная оптимизация против глобальной[/b]
Минимизация целевой функции является задачей нелинейной оптимизации с нелинейным ограничением [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image073.gif[/img]. Это условие гарантирует, что волатильность не может достигнуть нуля. К сожалению, целевая функция далека от того, чтобы быть выпуклой, и как оказалось, существует много локальных экстремумов. Как следствие мы решили пробовать локальные и глобальные оптимизаторы:
[i]Локальные (детерминированные) алгоритмы.[/i]
Для градиентных алгоритмов нужно задать начальное значение для вектора параметров оптимизации [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image074.gif[/img]. Далее алгоритм определяет оптимальное направление и размер шага и движется вниз в пространстве параметров к локальному минимуму целевой функции. Есть ряд градиентных алгоритмов, для задач оптимизации с ограничениями. Большинство этих алгоритмов, работают стабильно и достаточно быстро, но каждый всегда имеет риск застрять в локальном минимуме. Как следствие стартовое значение параметров оптимизации является критическим.
[i]Стохастические алгоритмы.[/i]
В отличии от градиентных, для стохастических оптимизаторов стартовое значение является несущественным (вероятно). Применяемый алгоритм отжига выбирает направление и шаг беспорядочно, "он ищет всюду". Он движется по градиенту, но может двигаться и вверх с определенной вероятностью [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image075.gif[/img], которая зависит от параметра отжига. Этот параметр называют "температурой" по историческим причинам. В течение процесса оптимизации температура постепенно уменьшается. Существует ряд теорем сходимости метода, которые утверждают, что алгоритм всегда останавливается в глобальном минимуме, если процесс отжига достаточно медленен. Но, как правило, стохастические алгоритмы медленны, и в вычислительном отношении более обременительны, чем градиентные оптимизаторы.

[b]7.3 Результаты[/b]
Мы протестировали различные градиентные оптимизаторы: оптимизатор пакета IMSL, встроенный Excel solver, который идет с Excel бесплатно, он оказался быстрым и надежным, оптимизатор пакета NAG. Нашим выбором стал оптимизатор e04wdc пакета NAG как наиболее быстрый и устойчивый. Он основан на методе последовательного квадратичного программирования. Градиентный оптимизатор используется, когда мы имеем некоторое "хорошее" начальное значение для вектора параметров оптимизации, например, если вы должны повторно калибровать модель каждый день, и поверхность волатильности существенно не изменилась.
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image076.gif[/img]
[i]Рисунок 2. Поверхность имлицитной волатильности для индекса S&P 500[/i]
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image077.gif[/img]
[i]Рисунок 3. Ошибки после калибровки модели Хестона к опционам на индекс S&P 500[/i]
Результаты калибровки модели Хестона к опционам на индекс S&P 500 оказались обнадеживающими - максимальная ошибка оказалась меньше чем 0.15 % для опционов at-the-money (рисунки 2 и 3). Градиентный оптимизатор может иногда застревать в локальном минимуме. В таких случаях или когда нет хорошего начального значения, мы использовали стохастические оптимизаторы (simulated annealing, differential evolution). Далее оказалось, то учет скачков в ценах (Хестон + Пуассон = Бейтс) не улучшает существенно качество калибровки.

[b]8 Модель стохастической волатильности с параметрами, зависящими от времени [/b]

После столь впечатляющих результатов калибровки можно было бы радостно потирать руки, но вскоре выяснилось, что динамические свойства модели Хестона оставляют желать лучшего. В результате финансовые инженеры должны калибровать параметры модели каждый день к новым данным рынка, что не совместимо с точным описанием динамики. К тому же выпуклость поверхности волатильности, генерируемой моделью Хестона, недостаточна для коротких сроков до экспирации. Поэтому было разработано обобщение модели Хестона - модель с параметрами, зависящими от времени. Применение последней модели позволяет более точно приблизить поверхность волатильности в областях in-the-money и out-of-the-money и несколько стабилизировать параметры стохастической модели.

[b]9 Моделирование методом Монте-Карло со скоростью звука[/b]

Метод Монте-Карло все чаще оказывается единственным применимым инструментом для оценивания сложных опционов. Это связано как с усложнением стохастических моделей, так и с усложнением самих инструментов. Монте-Карло моделирование может быть дискретным или точным. В первой схеме применяется численное интегрирование стохастического дифференциального уравнения, например методом Эйлера. Во второй схеме решение стохастического уравнения предполагается известным. В этом случае переходная плотность распределения определена и имеется возможность генерировать случайную переменную из точного распределения с произвольным шагом по времени. Точный метод имеет преимущества - он более быстрый и не содержит ошибки дискретизации. Аналитическое решение стохастического дифференциального уравнения известно далеко не всегда. Круг стохастических процессов с известной характеристической функцией намного шире. В дальнейшем описывается алгоритм точного моделирования по методу Монте-Карло для стохастических процессов с известной характеристической функцией.
Предполагается, что характеристическая функция [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image078.gif[/img] стохастического процесса задана
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image079.gif[/img]
Численно обращая характеристическую функцию, получаем плотность распределения [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image080.gif[/img] и функцию распределения [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image081.gif[/img]
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image082.gif[/img]
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image083.gif[/img]
Для генерации случайной переменной из [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image081.gif[/img] используем метод обратного преобразования:
генерируем равномерную случайную переменную [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image084.gif[/img], а затем находим [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image085.gif[/img] для которого
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image086.gif[/img].
В результате получаем случайную переменную из распределения [img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image081.gif[/img].
Для численного обращения функции распределения используется метод Ньютона-Рафсона.
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image087.gif[/img]
В качестве начального шага метода применяется переменная из нормального распределения. Отметим быструю сходимость метода. Для нахождения корня, как правило, достаточно 2-3 итераций.
[img]http://www.howtotrade.ru/image/hgimage/image088.gif[/img]
[i]Рисунок 4. Сходимость точного и дискретного методов[/i]
На рисунке 4 представлена сходимость точного и дискретного методов. Преимущества точного метода особенно проявляются при вычислении цены опциона с малой ошибкой. Точный метод при этом сходится на порядок быстрее дискретного.

[b]10 Программный пакет для моделей стохастической волатильности[/b]

Для оценки опционов в моделях стохастической волатильности разработан программный пакет. Пакет реализован на языке программирования С++, это позволяет проводить расчеты для произвольных стохастических моделей с известной характеристической функцией. При разработке пакета использовался объектно ориентированный анализ и дизайн, UML моделирование, образцы дизайна такие как мост, адаптер, посетитель, фабрика, STL и Boost библиотеки. Это позволило создать устойчивый и универсальный код и использовать библиотеку для новых стохастических моделей и финансовых инструментов. В пакет входят блоки:
[b]* Численные алгоритмы[/b]
[i]- Интегрирование (Gauss, adaptive Lobatto)
- Оптимизация (BFGS, DE, SA, Excel Solver)
- Интерфейс к коммерческим оптимизаторам (IMSL, NAG)
- Специальные функции (Bessel functions complex argument, gamma function)
- Случайные числа (Ran1 – Ran3, Mersenne Twister, antithetic)
- Случайные распределения (Normal, Noncentral chi-squared, Gamma, Exponential, Poisson)[/i]
[b]* Реализация аналитических решений для стандартных ванильных опционов[/b]
[i]- Модель Хестона
- Модель Бейтса
- Модель Хестона с параметрами, зависящими от времени[/i]
[b]* Калибровкa стохастической модели на стандартных опционах
* Метод Монте-Карло (Euler, predictor-corrector)
* Метод Монте-Карло (Exact)[/b]

[b]11 Заключение[/b]

Привлекательные особенности модели стохастической волатильности Хестона:
[i]- аналитические решения для цен стандартных Европейских опционов
- модель генерирует распределения для цен, близкие к реализуемым
- стохастическая модель учитывает отрицательную корреляцию между относительными доходностями и волатильностью
- опытным путем наблюдаемые поверхности имплицитной волатильности выглядят подобными тем, которые генерируются моделью Хестона[/i]
С другой стороны имеются некоторые недостатки и нерешенные вопросы:
[i]- для определенных значений параметров модели численное решение становится неустойчивым
- интегралы, необходимые для вычисления цен, не всегда сходятся (что является причиной для вышеупомянутой неустойчивости)
- Модель Хестона неявно принимает во внимание систематический риск, связанный с незавершённостью модели посредством линейной спецификации[/i]

[b]12 Ссылки[/b]

[b]Avellaneda, M, Levy, A & Para‘s, A (1995) [/b]: Pricing and hedging derivative securities in markets with uncertain volatilities. Applied Mathematical Finance 2 73–88
[b]Black, F. and Sholes, M. (1973) [/b]: The pricing of options and corporate liabilities, Journal of Political Economy 81, no. 3, 637-659.
[b]Cox, J., Ingersoll, J., and Ross, S. (1985) [/b]: A theory of the term structure of interest rates. Econometrica, 53:389-408.
[b]Feller, W. (1951) [/b]: Two singular diffusion problems, Annals of Mathematics 54, 173-182.
[b]Heston, S. (1993) [/b]: A closed-form solutions for options with stochastic volatility, Review of Financial Studies, 6, 327-343.
[b]Heston, S., and S. Nandi, (1997) [/b]: A Closed Form GARCH Option Pricing Model, Federal Reserve Bank of Atlanta Working Paper 97-9, 1-34.]]> Конференции http://www.howtotrade.ru/phorum/read.php?3,6613,6613#msg-6613 Sat, 02 Jun 2007 17:05:22 +0400