вот на вскидку модель PNP и вторая GPD.
http://statmath.wu.ac.at/~hornik/QFS1/pareto-vignette.pdf
мне казалось, что с этим фактом уже никто не борется.
А вот в этой работе более качественная модель (не через гаусса и два хвоста, а через медленно меняющуюся функцию и парето):
https://arxiv.org/pdf/1908.02347.pdf.
Кстати, это еще одно доказательство Паретовского хвоста SP500, например, - то, как прайсятся опционы ОТМ. Неплохая эвристика, если кому-то надо понять насколько цена опциона ОТМ соответствует более ценам более близких страйкам, ее использую даже я, а дилеры мне кажется ее используют очень давно. (Fig.3 - там видно имплаед альфу). Плюс комментарии Талеба про людей, говорящих что хвосты дорогие. Они такие, какие они и есть.
(если кто полезет внутрь - формула (7) упрощается так, что решением не будет комплексное число, это потом поправят, иначе в икселе, e.g., не посчитаешь)))